"फलन" शब्दाची व्युत्पत्ती- एक भाषिक नि इतिहासविषयक टिप्पणी

शालेय पुस्ककांत Function या इंग्रजी शब्दासाठी मराठीमधे "फलन" असा प्रतिशब्द वापरलेला मला आठवतो. मराठी-हिन्दी विकीपीडीयावरही हाच शब्द वापरला जातो. अगदी मराठी विश्वकोश (या शब्दांवर टीचकी मारली की ते पान उघडेल) सुद्धा हाच प्रतिशब्द दिला आहे. मला नि माझ्या बर्याच मित्रांना प्रश्न पडला होता, की "फलन" हा शब्द का बापरला गेला असावा. कारण एकपदी^† (monomial), द्विपदी (binomial), बहुपदी (polynomial), चल (variable), उकल (solution), चौकोन (quadrilateral) असे अनेक पारंपारीक तांत्रिक शब्द एकतर "सेल्फ एक्लप्लनेटरी" आहेत. किंवा नैसर्गिक संख्या, वास्तव संख्या यांसारखे शब्द हे इंग्रजी शब्दांचे थेट थेट प्रतिशब्द आहे, हे कळते. फलन ही गणितातील मध्यावर्ती संकल्पना आहे. मात्र "फलन" हा शब्द वरीलपैकी एकाही गटात बसत नाही. काही काळ, माझ्या लिखाणांमधे नि चर्चांमधे फलन ऐवजी मी "जोडणी" असा शब्द वापरायचो. त्यामुळे one-to-on function ला एकास-एक-जोडणी, onto-function ला "(कोडोमेनला पूर्णपणे) झाकणारी जोडणी" अशा उत्तम रचना जमल्या होत्या. मात्र काही काळापूर्वी आर्यभटीयमधील एक श्लोक नि The rule of three वरील थोडे लिखाण वाचनात आले, नि "फलन"ची व्युत्पत्ती काय असू शकते, ते लक्षात आले. 

गणितामधे संज्ञा बनवताना त्या सेल्फ एक्लप्लनेटरी नि योग्य असतील याची फार काळजी घेतली जाते. मात्र कित्येकदा असं होतं, की एखाद्या मोठ्या गणित्याला दिसताना काहीती वेगळंच दिसतं नि तो तशी संज्ञा देऊन जातो. कालांतराने ती थिअरी इतकी वाढते की त्या संज्ञांचा नि या विषयाचा काही संबंध नाही असे वाटू लागते. मात्र, मूळ उदाहरणासोबत प्रामाणिक राहण्यसाठी नि त्या महान गणित्यांचा आदर करण्यसाठी म्हणून, अशा संज्ञा जशाच्या तशा वापरल्या जातात. याचे उत्तम उदाहरण म्हणजे group, ring, field या संज्ञा होय (यांचे मूळ शोधून पहा बरं! हिल्बर्ट प्रभृती विद्वांनाकडे ते जाते!).

मला वाटते, फलन या संज्ञेचेही असेच झाले असावे. या संज्ञेची मला सुचलेली नि पटलेली  एक व्युत्पत्ती खाली देतोय.  फंक्शन्सची थिअरी आता इतकी वाढली आहे, की group, ring, field या संज्ञांसारखीच "फलन"ची ही गत झाली आहे!

या लेखातील गणिताची तीव्रता- ५पैकी १ मिरची
हा लेख वाचण्यासाठी फलनाची (function) व्याख्या(इथे टिचकी मारा) नि साधा गुणाकार-भागाकार आला की झाले!

सुरवात आपण काही साध्या सोप्या उदाहरणांनी नि त्यांच्या करू (याहून अधिक गणित या लेखात नाहीये!).
उदाहरण अ: जर एका माणसाला दिवसाचा पगार २०० असेल तर चार माणसांचा दिवसाचा पगार किती?
सोपं आहे ना सोडवणं-- ८००.
उदाहरण ब: दोन प्रोग्रॅमर मिळून दिवसभार एक कम्प्युटर प्रोग्रॅम लिहीत असतील तर आठ प्रोग्रॅमर मिळून दिवसात किती प्रोग्रॅम लिहीतील?
उघड आहे, ४.
उदाहरण क: मी जर दिड महीन्यात ब्लॉगसाठी एक लेख लिहीत असेन, तर एका वर्षात मी किती लेख लिहीतो?
उत्तर अाहे आठ.

ही उदाहरणे आपण कशी सोडवतो? अनुक्रमे पाहू.

अ. १ माणूस → २००

४ माणसे → क्ष.

तर, क्ष = ४× २०० = ८००

ब. २ प्रोग्रॅमर → १ प्रोग्रॅम

८ प्रोग्रॅमर → क्ष प्रोग्रॅम.

तर क्ष = ८/२=४

आणि शेवटच्या उदाहरणात,

क. १.५ महीना → १ लेख

१२ महीने → क्ष लेख.

तर क्ष= १२/१.५ = ८

इथे काही उदाहरणात गुणाकार केलाय, तर काहींमधे भागाकार. पण हे सर्व प्रश्न सोडवण्यासाठी एक साधी पद्धत आहे. शाळेतील गणिताचे तास आठवत असतील, तर तुम्ही हे नक्कीच ऐकले असेल,

जर अ साठी य असेल, तर ब साठी काय?

अ → य

ब → ?

"फुटके नळ, गळके हौद, काम-काळ" यांची गणिते सोडवण्या मागे हा मूळ प्रश्न असायचा. भारतीय गणितावाङ्मयामधे या प्रश्नास "त्रैराशिक" असं म्हटलं आहे. पहीले आणि दुसरे आर्यभट, ब्रह्मगुप्त, श्रीधर, महावीर, दुसरे भास्कर या सर्वांनीच त्रैराशिकावर काम केले आहे. वरील प्रश्नात जर ब साठी क्ष असे मानले तर पहील्या आर्यभटांनी वापरलेल्या संज्ञा-- नॉमेनक्लेचर असे,

अ - प्रमाण,    य-( प्रमाणासाठीचे) फल

ब- इच्छा,    क्ष- (इच्छेसाठीचे) फल

आर्यभटीय मधे श्लोक २६ मधे पहीले आर्यभट त्रैराशिक सोडवण्याची पद्धत अशी सांगतात (संदर्भ२):

त्रैराशिकफलराशिं तमथेच्छाराशिना हतं कृत्वा।

लब्धं पमाणभजितं तस्मादिच्छाफलमिं स्यात्।। 

अर्थ- फल आणि इच्छा यांचा गुणाकार करावा नि त्याला प्रमाणाने भागावे. (मिळणारा) भागाकार हा इच्छेसाठीचे फल मिळते.

म्हणजेच  

क्ष = (ब × य)/ अ

वरील आकड्यांचा तक्ता बनवला, तर,

 अ      य

 ब       क्ष

तक्ता १

आर्यभट सांगतात की ब नि य चा तिरकस गुणाकार करून त्याला अ ने भागायचे! पण हे तर आपणा सर्वांनाच माहीत असते, की तिरकस गुणाकार करून भागायचे! पाश्चिमात्यांनी या सूत्राला The rule of three, The golden rule असं म्हटलं. अरबी गणित्यांनी हे सूत्र भारतामधून युरोपात नेले (संदर्भ१).

लेखाच्या आरंभीच्या सर्व उदाहरणांत, कळत न कळतच का होइना हेच सूत्र वापरले आहे.

अ. १ माणूस → २००

४ माणसे → क्ष

 क्ष = (४× २००)/१ = ४× २००= ८००

ब. २ प्रोग्रॅमर → १ प्रोग्रॅम

८ प्रोग्रॅमर → क्ष प्रोग्रॅम

क्ष =  (८× १ )/२= ८/२= ४

आणि शेवटच्या उदाहरणात,

क. १.५ महीना → १ लेख

१२ महीने → क्ष लेख

क्ष = (१२×१)/१.५ = १२/१.५ = ८

आपल्या मूळ प्रश्नाकडे वळू:  फंक्शनला फलन हा शब्द कसा सुचवला गेला असावा. तर मला असे वाटते की: त्रैराशिकाप्रमाणचे, बहुराशिकेही बनवली गेली म्हणजेच the rule of five, the rule of seven,... the rule of odds इत्यादी. सर्व गणित्यांनी या सर्व बहुराशिकांसाठी पहील्या आर्यभटांच्याच संज्ञा वापरल्या. म्हणजे वरील तक्यांमधे डावीकडील शेवटी संख्या सोडून इतरांना प्रमाण असं नि शेवटच्या संख्येस इच्छा असं संबोधलं गेलं. उजवीकडील संज्ञांना फल असे म्हटले गेले. थोडा विचार केलात ते दिसेल की मूळात त्रैराशिक हे एक अतिशय सोपे फंक्शन आहे,

अ → य

ब  → क्ष

फंक्शन स्वरूपात त्रैराशिक

या फंक्शनचा डोमेन {अ, ब} नि कोडेमेन {य, क्ष} आहे.

मला वाटते की फंक्शनची संकल्पना न्यूटन प्रभृतींनी जेव्हा मांडली नि ती आपल्याकडे आली तेव्हा हे त्रैराशिकाचे उदाहरण डोळ्यासमोर ठेउन तात्कालीन गणिताभ्यसकांनी,

 प्रमाणांच्या फलांसोबत जोड्या लावून देण्याची प्रक्रीया म्हणजे फलन,

 असा विचार करून फंक्शनला फलन असा प्रतिशब्द सुचवला असावा. त्रैराशिकांना फंक्शन म्हणून घेणे अतिशय स्वाभाविक आहे.

केवळ आपल्या पाठ्यपुस्कतच नाही, तर आकडेमोडीच्या सर्वच गणितीशाखांमधे त्रैराशिकाचे अनन्यसाधारण महत्व होते. दुसर्या भास्कराचार्यांनी सिद्धांतशिरोमणीमधे म्हटले आहे (संदर्भ१, पान २२०) "गणितामधील वर्ग नि वर्गमूळ, घन नि घनमूळ सोडले तर सर्व प्रक्रीयांचे मूळ त्रैराशिकच आहेत" . त्रैराशिकाचा नियम सर्व गणित्यांनी फार मूलभूत मानला होता, नि त्यामुळे तो अभ्यासकांमधे प्रसिद्ध असणे स्वाभाविक आहे. शिवाय त्रैराशीकासंबधीच्या वरील संज्ञाच सर्वांनी वापरलया आहेत.  त्यामुळे या संज्ञा अभ्यासकांना माहीत असणे नि त्यापासून फलन शब्दाची व्युत्पत्ती होणे स्वाभाविक आहे.

या लेखामधे त्रैराशिक सोडवण्यसाठी तक्ता बनवण्याची जी पद्धत मी वापरली आहे, त्यामुळे त्रैराशिकास फंक्शन म्हणून पाहणे सोपे झाले आहे. असा तक्ता बनवून त्रैराशिक सोडवण्याची पद्धत पारंपारीक आहे. मी ती शोधलेली नाही. फक्त, पारंपारीक तक्त्यामधील ओळी (row) आणि स्तंभाची (column) मी आदलाबदल केली आहे. ही पद्धत पारंपारीक असल्याने, त्रैराशिकाला फलन म्हणून विद्वानांनी घेतले असण्याची शक्यता अधिकच आहे.

वाचकांपैकी कुणास अधिक माहीती असल्यास, खाली प्रतिक्रीया लिहून, अधिक प्रकाश टाकावा.

संदर्भ:
१. बिभूतीभूषण दत्त आणि अवदेश नारायण सिंग,
History of Hindu Mathematics (A source book) Part- I & II,
 धडा २ रा विभाग १२.
Asia Publishing House, 1935, 1938.

२. आर्यभट्ट आणि टीकाकार परमादीश्वर,
The Aryabhatiya, a manual of astronomy, with the Commentary of Bhatadipika of Parameadiçvara,
विभाग- गणितपाद:, पान क्र. ४२, मूळश्लोक २६,
माझ्याकडील आवृत्तीमधे प्रकाशक दिसत नाहीत, मात्र University Of California LA च्या ग्रंथालयातील प्रत आहे.

एक उदाहरण:
The rule of three चा आणि हौद-नळांच्या गणितांचा काय संबंध, तर अतिशय साधे उदाहरण खालीलप्रमाणे:
जर एक नळ २ तासात ३ बादल्या भरत असेल तर ९० बादल्या भरण्यासाठी किती वेळ लागेल?
सोप्या भाषेत,

३ला २; तर ९० ला किती?

तो वेळ क्ष मानू. तर आपले गणित होईल

३ → २

९०  → क्ष

आणि क्ष= (२x९०)/३=६० तास.
वराहमिहीरांनी खगोलशास्रांतील आकडेमोडींसाठीही हे सूत्र वापरून त्याचा जयकयकार केला होता. घरचा अभ्यास म्हणून शाळेतील पुस्तक शोधा आणि कुठे कुठे हे सूत्र वापरता येते ते पहा. गणिताचार्यांनी या सूत्रास इतके महत्व दिले किंवा पश्चिमेकडे याला The golden rule का म्हटले गेले हे तुम्हाला दिसेलच.

तळटीपा:

†एकपदी (monोmial), द्विपदी (binomial), बहुपदी(polynomial) - इथे "पद" या शब्दाचा अर्थ अवयव किंवा appendage असा आहे. त्यामुळे एक अवयव असणारी ती एकपदी इत्यादी. या शब्दांसाठीच्या इंग्रजी शब्दांचीही अशीच फोड होते. मात्र प्रस्तुत मराठी शब्द हे मूळ संस्कृत शब्द आहेत. आणि इंग्रजी शब्दांपेक्षा जास्त जुने आहेत. ते इंग्रजी शब्दांचे भाषांतर नाहीत, तर मूळ शब्द आहेत.
चल (variable)-चल म्हणजे अर्थाप्रमाणे हलणारी, अस्थीर असे. Vairable साठी हा शब्द चपखल बसतो.
उकल (solution), चौकोन हे ही सरळ सरळ त्यांच्या अर्थावरून घेतले आहेत.

∆  ∆